想必相关领域的学生皆有感悟：在数学以及物理相关的交流与文献中，总是充斥着各式各样的黑话。纤维丛便是其中堪称原神，无处不在、常常提及的概念之一。若有可怜的学生初见纤维丛而四处搜索之，多半只能落得被其定义打至跪地，自问是否应该继续学习物理的下场。遥想当年被科普贝里相位的概念，在知乎上阅读到相关文章时正是如此——什么纤维、联络、曲率，顿时迷了眼，只得落荒而逃，憧憬着：有朝一日学到贝里相位时，应该已经通晓这些神秘的概念，在符号理论间畅游如入无人之境了罢。
果真是如此么？我想并不是。格里菲斯《量子力学》中介绍至贝利曲率时，其只是经由绝热近似后得到的一个积分，同时更是用不明所以的运算定义了联络和曲率——似乎只是一个名字？若同时学习了广义相对论，那更会感到困惑：联络和曲率应当是某种联系于度规的张量，但是在贝里曲率的计算中似乎没有任何度规与张量的痕迹！然而，贝里相位在参数经过一个闭合回路回到原点产生一个非平凡相位的特性，似乎与广义相对论，或者黎曼几何中平行移动的和乐 (holonomy ) 的性质有些相似。这正是解决这个疑惑，理解相关概念的关键。在这篇文章中，让我们以此为引，以从纤维丛的视角理解贝里相位为目标，简单介绍向量丛、联络和曲率的概念。在最后，我们会简单阐述引入的概念和黎曼几何中对应概念的联系。
纤维丛
联络的概念天生定义在纤维丛 (fibre bundle) 上，我们将先介绍这个概念。尽管本文的目的是建立关于纤维丛的直观，因而我们尽力避免过多过于符号的表述1
由于篇幅，我们将不解释定义中涉及的概念（如拓扑空间等）。为了方便不熟悉这些概念的读者，我将在脚注中举典型的例子。
考虑四元组 ( E , B , π , F ) (E,B,\pi,F) ( E , B , π , F ) E E E B B B F F F 2 π : E → B \pi:E\to B π : E → B π \pi π
对于任意点 x ∈ B x\in B x ∈ B U ⊂ B U\subset B U ⊂ B U U U 3 φ : π − 1 ( U ) → U × F \varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times F φ : π − 1 ( U ) → U × F p r o j 1 : U × F → U \mathrm{proj}_1:U\times F\to U proj 1 : U × F → U 4 φ \varphi φ p r o j 1 ∘ φ = π \mathrm{proj}_1\circ\varphi=\pi proj 1 ∘ φ = π 局部平凡化 (local trivialization) 。
满足以上性质的四元组 ( E , B , π , F ) (E,B,\pi,F) ( E , B , π , F ) 纤维丛 ，其中 E E E 全空间 ，B B B 底空间 ，F F F 纤维 ，π \pi π （丛）投射 。
有时我们会省略全空间而说 F F F B B B F F F B B B fibration )。
注意到按上述定义对于任意 p ∈ B p\in B p ∈ B π − 1 ( { p } ) \pi^{-1}(\{p\}) π − 1 ({ p }) F F F π − 1 ( { p } ) \pi^{-1}(\{p\}) π − 1 ({ p }) p p p
若 E E E B B B F F F 光滑流形 以及定义中涉及的所有映射皆是光滑 的，那么这个纤维丛也被称为光滑 的。
从下文开始，我们默认处理光滑纤维丛。因而，我们会用底流形代指底空间。
学习过流形概念的读者，或许会觉得上述定义的手段有些许眼熟：这是尝试描述某个拓扑空间在局部上有好的性质的惯用伎俩。具体到纤维丛的语境，上述描述说明这样一个事实：纤维丛的每一个局部看起来都如同 B × F B\times F B × F B B B U ⊂ B U\subset B U ⊂ B π − 1 ( U ) \pi^{-1}(U) π − 1 ( U ) U × F U\times F U × F U U U F F F π \pi π B × F B\times F B × F
我们依旧可以类比流形来思考这个问题：流形是局部同胚于 R n \mathbb{R}^n R n R n \mathbb{R}^n R n B × F B\times F B × F B × F B\times F B × F 平凡丛 (trivial bundle) 。
给定任意两个拓扑空间 B B B F F F B × F B\times F B × F E E E B × F B\times F B × F π \pi π p r o j 1 \mathrm{proj}_1 proj 1 ( E , B , π , F ) (E,B,\pi,F) ( E , B , π , F ) U = B U=B U = B
取底空间 B = S 1 B=S^1 B = S 1 F = R F=\mathbb{R} F = R S 1 × R S^1\times \mathbb{R} S 1 × R ( θ , x ) (\theta, x) ( θ , x ) π ( ( θ , x ) ) = p r o j 1 ( ( θ , x ) ) = θ \pi((\theta,x))=\mathrm{proj}_1((\theta,x))=\theta π (( θ , x )) = proj 1 (( θ , x )) = θ R \mathbb{R} R π \pi π
考虑莫比乌斯带 E : = [ 0 , 1 ] × R / ∼ E:=[0,1]\times\mathbb{R}/\sim E := [ 0 , 1 ] × R / ∼ ∼ \sim ∼ ( 0 , t ) ∼ ( 1 , − t ) (0,t)\sim(1,-t) ( 0 , t ) ∼ ( 1 , − t ) S 1 × R S^1\times \mathbb{R} S 1 × R π \pi π p r o j 1 \mathrm{proj}_1 proj 1 [ 0 , 1 ] / ( 0 ∼ 1 ) [0,1]/(0\sim 1) [ 0 , 1 ] / ( 0 ∼ 1 ) S 1 S^1 S 1 S 1 S^1 S 1 R \mathbb{R} R π \pi π E E E
让我们借这个例子理解纤维丛局部是平凡丛的事实：从莫比乌斯带沿着垂直于圆的方向切下一条，很显然这部分同胚于 ( 0 , 1 ) × R (0,1)\times \mathbb{R} ( 0 , 1 ) × R ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
纤维丛给了我们一种统一的描述在底空间“生长”了纤维的拓扑空间的方式。然而目前我们的考量仅能限于拓扑结构上，纤维丛真正的强大之处在于我们可以进一步赋予纤维更多结构。
向量丛
在物理中，我们接触的大多纤维丛相关对象实质上是一个主丛 (principal bundle) ，其定义主要依赖于给定的拓扑群 G G G 向量丛 (vector bundle) 。我们来定义它：
给定两个拓扑空间 E E E B B B π : E → B \pi:E\to B π : E → B
对于任意点 x ∈ B x\in B x ∈ B π − 1 ( { x } ) \pi^{-1}(\{x\}) π − 1 ({ x })
对于任意点 x ∈ B x\in B x ∈ B U ⊂ B U\subset B U ⊂ B φ : π − 1 ( U ) → U × K k \varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times \mathbb{K}^k φ : π − 1 ( U ) → U × K k K \mathbb{K} K R \mathbb{R} R C \mathbb{C} C
p r o j 1 ∘ φ = π \mathrm{proj}_1\circ\varphi=\pi proj 1 ∘ φ = π v ↦ φ − 1 ( x , v ) v\mapsto\varphi^{-1}(x,v) v ↦ φ − 1 ( x , v ) π − 1 ( { x } ) \pi^{-1}(\{x\}) π − 1 ({ x }) K k \mathbb{K}^k K k
第二点给出的过程被称为局部平凡化 。可证明在连通的 B B B k k k
显然该定义大体上与前述纤维丛的定义相同，额外多出的部分仅在阐述如下事实：向量丛的纤维具有线性空间 K k \mathbb{K}^k K k 。因此，我们可以说向量丛局部等价于 B × K k B\times \mathbb{K}^k B × K k 。我们称纤维维数为 k k k k k k
事实上，在纤维丛章节提到的平凡丛以及莫比乌斯丛都能当作 1 1 1 切丛 (tangent bundle) 。
考虑任意一个 n n n M \mathcal{M} M p ∈ M p\in\mathcal{M} p ∈ M n n n T p M T_p\mathcal{M} T p M p p p M \mathcal{M} M T p M T_p\mathcal{M} T p M T p M T_p\mathcal{M} T p M M \mathcal{M} M T p M T_p\mathcal{M} T p M M \mathcal{M} M T M T\mathcal{M} T M
T M = ⋃ x ∈ M { x } × T x M T\mathcal{M}=\bigcup_{x\in\mathcal{M}}\{x\}\times T_x\mathcal{M} T M = x ∈ M ⋃ { x } × T x M 尽管 T M T\mathcal{M} T M M \mathcal{M} M
M \mathcal{M} M ( U α , ϕ α : U α → R n ) (U_\alpha,\phi_\alpha:U_\alpha\to\mathbb{R}^n) ( U α , ϕ α : U α → R n ) p ∈ U α p\in U_\alpha p ∈ U α ϕ α \phi_\alpha ϕ α T p M T_p\mathcal{M} T p M ∂ i \partial_i ∂ i T p M T_p\mathcal{M} T p M T p M → R n T_p\mathcal{M}\to \mathbb{R}^n T p M → R n v i v^i v i ϕ ~ α : π − 1 ( U α ) → R 2 n \tilde{\phi}_\alpha:\pi^{-1}(U_\alpha)\to\mathbb{R}^{2n} ϕ ~ α : π − 1 ( U α ) → R 2 n
ϕ ~ α ( x , v i ∂ i ) = ( ϕ α ( x ) , v i ) \tilde{\phi}_\alpha(x,v^i\partial_i)=(\phi_\alpha(x),v_i) ϕ ~ α ( x , v i ∂ i ) = ( ϕ α ( x ) , v i ) 其中 π \pi π T M T\mathcal{M} T M A A A T M T\mathcal{M} T M A A A T M T\mathcal{M} T M ϕ ~ α ( A ∩ U α ) \tilde{\phi}_\alpha(A\cap U_\alpha) ϕ ~ α ( A ∩ U α ) α \alpha α R 2 n \mathbb{R}^{2n} R 2 n T M T\mathcal{M} T M
从宽泛的视角来说，上述构造过程将 R n \mathbb{R}^n R n
以类似的手段，可以构造流形的余切丛 T ∗ M T^*\mathcal{M} T ∗ M
在引入联络之前，我们还必须介绍一个简单而重要的概念：截面。熟悉微分几何的读者都清楚，联络，或者协变导数，是向量场到向量场的映射。我们现在在以丛的方式理解流形上各点和其对应的向量空间，那么对应于向量场的概念是什么呢？截面这个名称已经暴露了核心想法：既然现在所有可能的向量值都“生长”在底流形上，那我从上面切下一片，就对应于为每一个底流形的点取一个值。同时，由于我们具有全空间的拓扑，所以我们知道只要这个截面是光滑的，我们理解的场就是光滑的。这里也逐渐体现出纤维丛语言的优势：场本身也可以当作几何对象处理。让我们用更正式的语言描述这个想法：
连续映射 σ : B → E \sigma:B\to E σ : B → E ( E , B , π , F ) (E,B,\pi,F) ( E , B , π , F ) π ∘ σ = i d \pi\circ\sigma=\mathrm{id} π ∘ σ = id
这个定义保证了截面 σ \sigma σ
我们把（光滑）截面的集合记作 Γ ( E ) \Gamma(E) Γ ( E ) Γ ( E ) \Gamma(E) Γ ( E ) C ∞ ( M ) C^\infty(\mathcal{M}) C ∞ ( M )
数乘：对任意 f ∈ C ∞ ( M ) f\in C^\infty(\mathcal{M}) f ∈ C ∞ ( M ) X ∈ Γ ( E ) X\in\Gamma(E) X ∈ Γ ( E ) p r o j 2 ∘ φ − 1 ( ( f X ) ( x ) ) = f ( x ) p r o j 2 ∘ φ − 1 ( X ( x ) ) \mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}((fX)(x))=f(x)\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}(X(x)) proj 2 ∘ φ − 1 (( f X ) ( x )) = f ( x ) proj 2 ∘ φ − 1 ( X ( x ))
加法：对任意 X , Y ∈ Γ ( E ) X,Y\in\Gamma(E) X , Y ∈ Γ ( E ) p r o j 2 ∘ φ − 1 ( ( X + Y ) ( x ) ) = p r o j 2 ∘ φ − 1 ( X ( x ) ) + p r o j 2 ∘ φ − 1 ( Y ( x ) ) \mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}((X+Y)(x))=\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}(X(x))+\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}(Y(x)) proj 2 ∘ φ − 1 (( X + Y ) ( x )) = proj 2 ∘ φ − 1 ( X ( x )) + proj 2 ∘ φ − 1 ( Y ( x ))
即逐点对对应纤维做数乘与加法。
仿射联络
终于，我们可以介绍联络的概念了。尽管更一般的联络和曲率定义在主丛之上，我们这里仅考虑向量丛上的一种特殊情况，即仿射联络。尽管仿射联络的概念以切丛为原型定义，接下来我们考虑任意向量丛 ( E , B , π ) (E,B,\pi) ( E , B , π )
仿射联络是光滑映射 ∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ B ) ⊗ Γ ( E ) ≅ Γ ( T ∗ B ⊗ E ) \nabla:\Gamma(E)\to\Gamma(T^*B)\otimes\Gamma(E)\cong\Gamma(T^*B\otimes E) ∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ B ) ⊗ Γ ( E ) ≅ Γ ( T ∗ B ⊗ E ) f , g ∈ C ∞ ( B ) f,g\in C^\infty(B) f , g ∈ C ∞ ( B ) X , Y ∈ Γ ( E ) X,Y\in\Gamma(E) X , Y ∈ Γ ( E )
∇ ( f X + g Y ) = d f ⊗ X + f ∇ X + d g ⊗ Y + g ∇ Y \nabla(fX+gY)=df\otimes X+f\nabla X+dg\otimes Y+g\nabla Y ∇ ( f X + g Y ) = df ⊗ X + f ∇ X + d g ⊗ Y + g ∇ Y 即 ∇ \nabla ∇ Γ ( E ) \Gamma(E) Γ ( E )
为了方便我们运算，我们给向量丛引入一组有序基 ( e i ) (e_i) ( e i ) X ∈ Γ ( E ) X\in\Gamma(E) X ∈ Γ ( E )
X ( x ) = ( x , X i e i ) X(x)=(x,X^ie_i) X ( x ) = ( x , X i e i ) 这样一组（位置相关的）有序基被称为向量丛的一个 标架 (frame) 5
∇ ( ( x , X i e i ) ) = ( x , ∂ α X i d x α ⊗ e i ) + X i ∇ ( e i ) = ( x , ∂ α X i d x α ⊗ e i + X i ω j i α d x α ⊗ e j ) \nabla((x,X^ie_i))=(x,\partial_\alpha X^idx^\alpha\otimes e_i)+X^i\nabla(e_i)=(x,\partial_\alpha X^idx^\alpha\otimes e_i+X^i\omega^j{}_{i\alpha}dx^\alpha\otimes e_j) ∇ (( x , X i e i )) = ( x , ∂ α X i d x α ⊗ e i ) + X i ∇ ( e i ) = ( x , ∂ α X i d x α ⊗ e i + X i ω j i α d x α ⊗ e j ) 我们同时引入了 B B B ( x α ) (x^\alpha) ( x α ) d x α ⊗ e i dx^\alpha\otimes e_i d x α ⊗ e i
∇ X = ( ∂ α X i + X j ω i j α ) d x α ⊗ e i \nabla X=(\partial_\alpha X^i+X^j\omega^i{}_{j\alpha})dx^\alpha\otimes e_i ∇ X = ( ∂ α X i + X j ω i j α ) d x α ⊗ e i 其中
∇ ( e i ) = ω j i α d x α ⊗ e j \nabla(e_i)=\omega^j{}_{i\alpha}dx^\alpha\otimes e_j ∇ ( e i ) = ω j i α d x α ⊗ e j 被称为 克里斯托弗符号 (Christoffel symbol) 。
特别的，A j i = ω j i α d x α A^j{}_i=\omega^j{}_{i\alpha}dx^\alpha A j i = ω j i α d x α ω j i α \omega^j{}_{i\alpha} ω j i α 联络 1-形式 (connection 1-form) 。
不难注意到 ∇ X \nabla X ∇ X X i X^i X i d ( X i ) d(X^i) d ( X i ) A A A A j i X i A^j{}_i X^i A j i X i
∇ X = ( d + A ) X ∇ = d + A \nabla X=(d+A)X\quad\nabla=d+A ∇ X = ( d + A ) X ∇ = d + A 因此，A A A 1 1 1
如果我们改用其他标架，那么这两套标架之间（逐点）被一个可逆线性变换 g ∈ G L ( k ) g\in GL(k) g ∈ G L ( k ) e ~ i = g j i e j \tilde{e}_i=g^j{}_ie_j e ~ i = g j i e j
A ↦ g − 1 A g A\mapsto g^{-1}Ag A ↦ g − 1 A g 然而考虑联络 1 1 1
∇ ( e ~ i ) = ∇ ( g j i e j ) = ∂ α g j i ( g − 1 ) k j d x α ⊗ e ~ k + g j i ω k j α ( g − 1 ) m k d x α ⊗ e ~ m \nabla(\tilde{e}_i)=\nabla(g^j{}_ie_j)=\partial_\alpha g^j{}_i (g^{-1})^k{}_j dx^\alpha\otimes\tilde{e}_k+g^j{}_i\omega^k{}_{j\alpha}(g^{-1})^m{}_k dx^\alpha\otimes\tilde{e}_m ∇ ( e ~ i ) = ∇ ( g j i e j ) = ∂ α g j i ( g − 1 ) k j d x α ⊗ e ~ k + g j i ω k j α ( g − 1 ) m k d x α ⊗ e ~ m 换言之
A ↦ g − 1 d g + g − 1 A g A\mapsto g^{-1}dg+g^{-1}Ag A ↦ g − 1 d g + g − 1 A g 这也被认为是联络的关键特征之一。
在引入标架上的表达式后，我们可以意识到仿射联络有类似外微分的作用：∇ \nabla ∇ 0 0 0 X ∈ Γ ( E ) X\in\Gamma(E) X ∈ Γ ( E ) 1 1 1
∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ B ) ⊗ Γ ( E ) ≅ Ω 1 ( B ) ⊗ Γ ( E ) \nabla:\Gamma(E)\to\Gamma(T^*B)\otimes\Gamma(E)\cong\Omega^1(B)\otimes\Gamma(E) ∇ : Γ ( E ) → Γ ( T ∗ B ) ⊗ Γ ( E ) ≅ Ω 1 ( B ) ⊗ Γ ( E ) 受此启发，我们可以仿照外微分将仿射联络推广至作用到向量值外代数上
外协变微分
∇ : Γ ( Λ ∗ T ∗ B ⊗ E ) → Γ ( Λ ∗ T ∗ B ⊗ E ) \nabla:\Gamma(\Lambda^*T^*B\otimes E)\to\Gamma(\Lambda^*T^*B\otimes E) ∇ : Γ ( Λ ∗ T ∗ B ⊗ E ) → Γ ( Λ ∗ T ∗ B ⊗ E ) ∇ ( X ∧ Y ) = ∇ X ∧ Y + ( − 1 ) d e g X X ∧ d Y \nabla(X\wedge Y)=\nabla X\wedge Y+(-1)^{\mathrm{deg} X}X\wedge dY ∇ ( X ∧ Y ) = ∇ X ∧ Y + ( − 1 ) deg X X ∧ d Y 特别的，∇ \nabla ∇ Γ ( Ω p ( B ) ⊗ E ) \Gamma(\Omega^p(B)\otimes E) Γ ( Ω p ( B ) ⊗ E ) Γ ( Ω p + 1 ( B ) ⊗ E ) \Gamma(\Omega^{p+1}(B)\otimes E) Γ ( Ω p + 1 ( B ) ⊗ E ) ∇ = d + A ∧ \nabla=d+A\wedge ∇ = d + A ∧
截面 X ∈ Γ ( E ) X\in\Gamma(E) X ∈ Γ ( E ) 平行截面 ，当且仅当 ∇ X = 0 \nabla X=0 ∇ X = 0
考虑流形间的光滑映射 φ : M → N \varphi:\mathcal{M}\to\mathcal{N} φ : M → N f ∈ C ∞ ( N ) f\in C^\infty(\mathcal{N}) f ∈ C ∞ ( N ) 拉回 (pullback)
φ ∗ f = f ∘ φ ∈ C ∞ ( M ) \varphi^*f=f\circ\varphi\in C^\infty(\mathcal{M}) φ ∗ f = f ∘ φ ∈ C ∞ ( M ) 拉回的名称来源于它将 N \mathcal{N} N M \mathcal{M} M φ \varphi φ
类似地，我们可以定义向量场的 推前 (pushforward)
( φ ∗ X ) ( f ) = X ( φ ∗ f ) (\varphi_* X)(f)=X(\varphi^* f) ( φ ∗ X ) ( f ) = X ( φ ∗ f ) 其中 X X X M \mathcal{M} M f f f N \mathcal{N} N φ \varphi φ φ − 1 : N → M \varphi^{-1}:\mathcal{N}\to\mathcal{M} φ − 1 : N → M N \mathcal{N} N M \mathcal{M} M
N \mathcal{N} N E E E M \mathcal{M} M x ∈ M x\in\mathcal{M} x ∈ M φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) φ ∗ E \varphi^*E φ ∗ E
同理，截面 σ ∈ Γ ( E ) \sigma\in\Gamma(E) σ ∈ Γ ( E ) φ ∗ σ = σ ∘ φ ∈ Γ ( φ ∗ E ) \varphi^*\sigma=\sigma\circ\varphi\in\Gamma(\varphi^*E) φ ∗ σ = σ ∘ φ ∈ Γ ( φ ∗ E )
进一步，E E E ∇ \nabla ∇ φ ∗ E \varphi^*E φ ∗ E
φ ∗ ∇ ( φ ∗ σ ) = φ ∗ ( ∇ σ ) \varphi^*\nabla(\varphi^*\sigma)=\varphi^*(\nabla\sigma) φ ∗ ∇ ( φ ∗ σ ) = φ ∗ ( ∇ σ ) 当然，等式右边涉及的对张量积的拉回就是逐项拉回后的张量积。
B B B γ : [ a , b ] → B \gamma:[a,b]\to B γ : [ a , b ] → B X ∈ Γ ( E ) X\in\Gamma(E) X ∈ Γ ( E ) 沿 γ \gamma γ 当且仅当 γ ∗ ∇ ( γ ∗ X ) = 0 \gamma^*\nabla(\gamma^*X)=0 γ ∗ ∇ ( γ ∗ X ) = 0 γ ∗ X \gamma^*X γ ∗ X
换句话说，联络告诉我们向量丛的截面与平行截面差了多少。若仅有向量丛的定义，我们仅能由拓扑断言哪些纤维上的元素是邻近的，而无法典范地比较各点纤维上的元素，联络提供了一种方式。回到向量场的语言，平行截面就是互相平行的向量构成的向量场。
一个很自然的想法是，我们能否通过将某点处的向量四处平移得到平行截面？在进行这一构造中我们会受到的唯一阻碍便是平行移动的结果是否依赖于路径的选取。如果平行移动的结果与路径有关，我们就无法确保平行截面的光滑性。这一问题，正如一些熟悉微分几何的读者所料，由该联络的曲率回答。
按照向量与联络的变换规则，验证虽然平行移动方程 ∇ X = ( d + A ) X = 0 \nabla X=(d+A)X=0 ∇ X = ( d + A ) X = 0 d X dX d X A X AX A X
我们来考虑一个环形路径 γ : [ 0 , 1 ] → B \gamma:[0,1]\to B γ : [ 0 , 1 ] → B γ ( 0 ) = γ ( 1 ) \gamma(0)=\gamma(1) γ ( 0 ) = γ ( 1 ) X X X γ ′ ( t ) ⌞ ( d + A ) X = 0 \gamma^\prime(t)\llcorner(d+A)X=0 γ ′ ( t ) └ ( d + A ) X = 0 γ \gamma γ d X = − A X dX=-AX d X = − A X
X ( γ ( 1 ) ) − X ( γ ( 0 ) ) = ∮ γ d X = − ∮ γ A X X(\gamma(1))-X(\gamma(0))=\oint_\gamma dX=-\oint_\gamma AX X ( γ ( 1 )) − X ( γ ( 0 )) = ∮ γ d X = − ∮ γ A X 可能读者会想利用斯托克斯定理获得局部表达式 d ( A X ) d(AX) d ( A X ) X X X X X X
由于这是任何一个微分几何教材中都有的计算，我们略过具体计算过程而给出结论：
Δ X = ( d A + A ∧ A ) ∧ X ⋅ ϵ 2 + O ( ϵ 3 ) \Delta X=(dA+A\wedge A)\wedge X\cdot \epsilon^2+O(\epsilon^3) Δ X = ( d A + A ∧ A ) ∧ X ⋅ ϵ 2 + O ( ϵ 3 ) 由于 X X X 0 0 0 A ∧ X = A X A\wedge X=AX A ∧ X = A X
因此我们得到了刻画局部和乐的矩阵值 2 2 2 Ω = d A + A ∧ A \Omega=dA+A\wedge A Ω = d A + A ∧ A 曲率 2-形式 (curvature 2-form) 。曲率 2 2 2
不可以凭直觉通过对面做积分得到边界上的和乐！该事实由一般来说 d Ω ≠ 0 d\Omega\neq0 d Ω = 0
注意到按照外协变导数的表达式 ∇ = d + A ∧ \nabla=d+A\wedge ∇ = d + A ∧
∇ 2 X = ( d + A ∧ ) ( d + A ∧ ) X = d 2 X + d ( A ∧ X ) + A ∧ d X + A ∧ A ∧ X = d A ∧ X − A ∧ d X + A ∧ d X + A ∧ A ∧ X = ( d A + A ∧ A ) ∧ X \begin{align*}
\nabla^2X&=(d+A\wedge)(d+A\wedge)X\\
&=d^2X+d(A\wedge X)+A\wedge dX+A\wedge A\wedge X\\
&=dA\wedge X-A \wedge dX+A\wedge dX+A\wedge A\wedge X\\
&=(dA+A\wedge A)\wedge X
\end{align*} ∇ 2 X = ( d + A ∧ ) ( d + A ∧ ) X = d 2 X + d ( A ∧ X ) + A ∧ d X + A ∧ A ∧ X = d A ∧ X − A ∧ d X + A ∧ d X + A ∧ A ∧ X = ( d A + A ∧ A ) ∧ X 因此二阶外协变微分 ∇ 2 \nabla^2 ∇ 2 2 2 2 0 0 0 平坦 的。
可能会有读者好奇为什么相同 1 1 1 A ∧ A ≠ 0 A\wedge A\neq0 A ∧ A = 0
( d x + d y d x d y 0 ) ∧ ( d x + d y d x d y 0 ) = ( ( d x + d y ) ∧ ( d x + d y ) + d x ∧ d y ⋯ ⋯ ⋯ ) = ( d x ∧ d y − d x ∧ d y d x ∧ d y − d x ∧ d y ) \begin{pmatrix}
dx + dy & dx\\
dy & 0
\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}
dx + dy & dx\\
dy & 0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
(dx + dy)\wedge(dx+dy)+dx\wedge dy & \cdots \\
\cdots & \cdots
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
dx\wedge dy & -dx \wedge dy \\
dx\wedge dy & -dx \wedge dy
\end{pmatrix} ( d x + d y d y d x 0 ) ∧ ( d x + d y d y d x 0 ) = ( ( d x + d y ) ∧ ( d x + d y ) + d x ∧ d y ⋯ ⋯ ⋯ ) = ( d x ∧ d y d x ∧ d y − d x ∧ d y − d x ∧ d y ) 和乐正是指带联络的主丛的环路平移可能导致非平凡变化的现象。由仿射联络的线性性可以注意到，对于底流形上的固定点 x x x x x x γ \gamma γ P γ ∈ G L ( k ) P_\gamma\in GL(k) P γ ∈ G L ( k ) G L ( k ) GL(k) G L ( k ) P γ 2 P γ 1 = P γ 2 ∘ γ 1 P_{\gamma_2}P_{\gamma_1}=P_{\gamma_2\circ\gamma_1} P γ 2 P γ 1 = P γ 2 ∘ γ 1 H o l x ( ∇ ) \mathrm{Hol}_x(\nabla) Hol x ( ∇ ) 2 2 2 h o l x ( ∇ ) \mathfrak{hol}_x(\nabla) hol x ( ∇ )
贝里曲率
经过冗长的铺垫，我们终于具有足够的工具理解贝里曲率了。在正式进入概念之前，我们先回忆一下贝里相位的概念：在一个参数空间 R \mathcal{R} R C ( t ) C(t) C ( t ) n n n ∣ n > \left|n\right> ∣ n ⟩ n n n e − i E n t e^{-iE_nt} e − i E n t
γ n [ C ] = i ∫ C < n ( C ( t ) ) ∣ ∇ R ∣ n ( C ( t ) ) > d R \gamma_n[C]=i\int_C\left<n(C(t))\right|\nabla_\mathcal{R}\left|n(C(t))\right>d\mathcal{R} γ n [ C ] = i ∫ C ⟨ n ( C ( t )) ∣ ∇ R ∣ n ( C ( t )) ⟩ d R 很显然，这个表达式与给出和乐的积分具有惊人的相似性：事实上，它们就是同一个东西。这一表达式在强烈地预示我们贝里相位应当被理解成参数空间 R \mathcal{R} R H \mathcal{H} H
希尔伯特空间的平凡丛
事实上，前面引言所述内容有一点点误导性。很显然，贝里相位按其定义是独立定义在每一个本征态上的。这一想法非常重要，而我们在这一小节将反其道而行之：我们先考虑平凡丛 R × H \mathcal{R}\times\mathcal{H} R × H
我们先思考为什么我们考虑的丛应当是一个平凡丛，第一个问题是：参数空间上不同点对应的真的是同一个希尔伯特空间吗？这事实上是一个非常好的问题，因为如果我们考虑的参数会剧烈改变量子系统定义的空间，那自然会导致不同的希尔伯特空间。例如如果我们考虑一个半径为 R R R R R R R → 0 R\to 0 R → 0 L 2 ( S 1 ) L^2(S^1) L 2 ( S 1 ) L 2 ( { 0 } ) L^2(\{0\}) L 2 ({ 0 }) n n n n n n
第二个问题是：为什么是平凡丛？这依旧源于我们的物理认知：物理允许我们指认不同参数处的态为“相同”的态。作为例子，我们不妨考虑一个1 2 \frac{1}{2} 2 1 C 2 \mathbb{C}^2 C 2 B \mathbf{B} B B \mathbf{B} B
无论如何，我们继续默认平凡丛 R × H \mathcal{R}\times\mathcal{H} R × H
给定任意平凡向量丛 M × C k \mathcal{M}\times\mathbb{C}^k M × C k
∀ σ ∈ Γ ( M × C k ) ∇ ( σ ) = d σ \forall{\sigma}\in\Gamma(\mathcal{M}\times\mathbb{C}^k)\quad\nabla(\sigma)=d\sigma ∀ σ ∈ Γ ( M × C k ) ∇ ( σ ) = d σ 这一操作似乎在任意向量丛中都可以实现，但注意：该定义由于涉及对 σ \sigma σ
容易验证平凡联络是平坦的，即 ∇ 2 = 0 \nabla^2=0 ∇ 2 = 0
上述定义中将纤维 C k \mathbb{C}^k C k
真空子丛
在已经有了完整的纤维丛和其上的联络之后，我们来想想定义在每个本征子空间上的贝里联络是怎么回事。很直接的想法是，我们需要把联络的作用限制到每个本征子空间上。尽管在整个希尔伯特空间中联络可能是平的，每个参数点上的本征子空间却可能因为参数的变化而长得横七竖八，贝里联络正是捕获了这一变化。为了规范地定义联络的限制作用，我们来定义子丛的概念：
向量丛 E E E 子丛 (subbundle) L L L E E E L x = E x ∩ L L_x=E_x\cap L L x = E x ∩ L E x E_x E x
是一个很直接的定义。在拓扑场论的语境下，基态的本征子空间构成的子丛也被称作真空子丛 (vacuum subbundle) 。
定义联络的限制 φ ∘ ∇ ∣ V : Γ ( R × V ) → Γ ( T ∗ R ⊗ R × V ) \varphi\circ\nabla|_V:\Gamma(\mathcal{R}\times V)\to\Gamma(T^*\mathcal{R}\otimes\mathcal{R}\times V) φ ∘ ∇ ∣ V : Γ ( R × V ) → Γ ( T ∗ R ⊗ R × V ) φ \varphi φ
幸而，由于希尔伯特空间中内积的存在，这一过程是相当直接的：如果本征子空间是一维子空间 s p a n { ∣ n > } \mathrm{span}\{\left|n\right>\} span { ∣ n ⟩ }
∇ ∣ n > = d ∣ n > = ∂ α ∣ n > d R α = ∇ R ∣ n > ⋅ d R \nabla\left|n\right>=d\left|n\right>=\partial_\alpha\left|n\right> d\mathcal{R}^\alpha=\nabla_\mathcal{R}\left|n\right>\cdot d\mathcal{R} ∇ ∣ n ⟩ = d ∣ n ⟩ = ∂ α ∣ n ⟩ d R α = ∇ R ∣ n ⟩ ⋅ d R 而该结果在本征子空间 s p a n { ∣ n > } \mathrm{span}\{\left|n\right>\} span { ∣ n ⟩ }
< n ∣ ∇ R ∣ n > ⋅ d R \left<n\right|\nabla_\mathcal{R}\left|n\right>\cdot d\mathcal{R} ⟨ n ∣ ∇ R ∣ n ⟩ ⋅ d R 很显然，这正是贝里联络的表达式，由于我们考虑的是一阶的子丛，联络 1 1 1 1 1 1
Ω = d ( < n ∣ ∇ R ∣ n > ⋅ d R ) = ∂ α < n ∣ ∂ β ∣ n > d R α ∧ d R β \Omega=d(\left<n\right|\nabla_\mathcal{R}\left|n\right>\cdot d\mathcal{R})=\partial_\alpha\left<n\right|\partial_\beta\left|n\right> d\mathcal{R}^\alpha\wedge d\mathcal{R}^\beta Ω = d ( ⟨ n ∣ ∇ R ∣ n ⟩ ⋅ d R ) = ∂ α ⟨ n ∣ ∂ β ∣ n ⟩ d R α ∧ d R β 这正是贝里曲率的表达式，其中 A ∧ A A\wedge A A ∧ A 1 1 1 0 0 0
黎曼几何与 Levi-Civita 联络
在本文的最后，我们简单将正文介绍的概念对应至微分几何中的概念。事实上，正文中绝大多数概念的引入与微分几何中概念的引入都是直接对应的。由于切丛 T M T\mathcal{M} T M
然而，在切丛的语境下，由于天然存在一个好的标架 ( ∂ μ ) (\partial_\mu) ( ∂ μ ) ( ∂ μ ) (\partial_\mu) ( ∂ μ )
Γ ρ μ ν ∂ ρ = ∇ ∂ μ ( ∂ ν ) \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\partial_\rho=\nabla_{\partial_\mu}(\partial_\nu) Γ ρ μν ∂ ρ = ∇ ∂ μ ( ∂ ν ) 另外，正文中定义的联络没有下指标，与常见的协变导数关系如下：
∇ X ( Y ) = X ⌞ ∇ ( Y ) \nabla_X(Y)=X\llcorner\nabla(Y) ∇ X ( Y ) = X └ ∇ ( Y ) ⌞ \llcorner └ X X X Γ ( T ∗ M ) \Gamma(T^*\mathcal{M}) Γ ( T ∗ M ) C ∞ ( M ) C^\infty(\mathcal{M}) C ∞ ( M )
对于有些学习广义相对论和（伪）黎曼几何的读者而言，正文定义的联络可能有些许陌生：在该语境下，联络是唯一且由度规定义的。这是由于度规，即一个对称可逆 2 2 2 g ∈ Γ ( S y m 2 T ∗ M ) g\in\Gamma(\mathrm{Sym}^2T^*\mathcal{M}) g ∈ Γ ( Sym 2 T ∗ M ) Levi-Civita 联络 。
Levi-Civita 联络的想法如下：使平行移动保持度规，例如始相互正交的矢量在同时平移后依旧是相互正交的。该要求等价于
∇ g = 0 \nabla g=0 ∇ g = 0 在无挠，即 Γ ρ μ ν = Γ ρ ν μ \Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\Gamma^\rho{}_{\nu\mu} Γ ρ μν = Γ ρ ν μ
存在唯一的仿射联络 ∇ \nabla ∇
∇ g = 0 \nabla g=0 ∇ g = 0 ∇ \nabla ∇ 我们可以借由度规唯一确定 Levi-Civita 联络。在本文我们不多赘述。对于（伪）黎曼流形而言，由于选用 Levi-Civita 联络，和乐群会被从 G L ( n ) GL(n) G L ( n ) O ( p , q ) O(p,q) O ( p , q )
Levi-Civita 联络之所以自然是因为当（伪）黎曼流形被以保持度规的方式嵌入高维的 R p , q \mathbb{R}^{p,q} R p , q R p , q \mathbb{R}^{p,q} R p , q
