纤维丛，联络和贝里相位

想必相关领域的学生皆有感悟：在数学以及物理相关的交流与文献中，总是充斥着各式各样的黑话。纤维丛便是其中堪称原神，无处不在、常常提及的概念之一。若有可怜的学生初见纤维丛而四处搜索之，多半只能落得被其定义打至跪地，自问是否应该继续学习物理的下场。遥想当年被科普贝里相位的概念，在知乎上阅读到相关文章时正是如此——什么纤维、联络、曲率，顿时迷了眼，只得落荒而逃，憧憬着：有朝一日学到贝里相位时，应该已经通晓这些神秘的概念，在符号理论间畅游如入无人之境了罢。

果真是如此么？我想并不是。格里菲斯《量子力学》中介绍至贝利曲率时，其只是经由绝热近似后得到的一个积分，同时更是用不明所以的运算定义了联络和曲率——似乎只是一个名字？若同时学习了广义相对论，那更会感到困惑：联络和曲率应当是某种联系于度规的张量，但是在贝里曲率的计算中似乎没有任何度规与张量的痕迹！然而，贝里相位在参数经过一个闭合回路回到原点产生一个非平凡相位的特性，似乎与广义相对论，或者黎曼几何中平行移动的和乐 (holonomy) 的性质有些相似。这正是解决这个疑惑，理解相关概念的关键。在这篇文章中，让我们以此为引，以从纤维丛的视角理解贝里相位为目标，简单介绍向量丛、联络和曲率的概念。在最后，我们会简单阐述引入的概念和黎曼几何中对应概念的联系。

纤维丛

定义

联络的概念天生定义在纤维丛 (fibre bundle) 上，我们将先介绍这个概念。尽管本文的目的是建立关于纤维丛的直观，因而我们尽力避免过多过于符号的表述¹，但奈何我们仍然需要严谨而紧致的语言定义和阐述相关概念。因此，我们会使用正式的符号定义之后，再细致用更直观的方式阐述其含义。

备注

由于篇幅，我们将不解释定义中涉及的概念（如拓扑空间等）。为了方便不熟悉这些概念的读者，我将在脚注中举典型的例子。

纤维丛

考虑四元组 $(E,B,\pi,F)$，其中 $E$、$B$、$F$ 皆为拓扑空间²，$\pi:E\to B$ 是一个连续满射。$\pi$ 需要满足如下性质：

局部平凡化

对于任意点 $x\in B$，存在其开邻域 $U\subset B$，使得 $U$ 上存在一个同胚³ $\varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times F$，令 $\mathrm{proj}_1:U\times F\to U$ 为笛卡尔积定义的自然投影⁴，要求 $\varphi$ 满足 $\mathrm{proj}_1\circ\varphi=\pi$。该过程称为 局部平凡化 (local trivialization)。

满足以上性质的四元组 $(E,B,\pi,F)$ 称为一个纤维丛，其中 $E$ 称为全空间，$B$ 称为底空间，$F$ 称为纤维，$\pi$ 称为 （丛）投射。

称呼

有时我们会省略全空间而说 $F$ 在 $B$ 上的纤维丛，或者 $F$ 在 $B$ 上的纤维化 (fibration)。

注意到按上述定义对于任意 $p\in B$ 有 $\pi^{-1}(\{p\})$ 与 $F$ 同胚，因此我们称 $\pi^{-1}(\{p\})$ 为点 $p$ 上的纤维。

光滑纤维丛

若 $E$、$B$、$F$ 皆是光滑流形以及定义中涉及的所有映射皆是光滑的，那么这个纤维丛也被称为光滑的。

备注

从下文开始，我们默认处理光滑纤维丛。因而，我们会用底流形代指底空间。

学习过流形概念的读者，或许会觉得上述定义的手段有些许眼熟：这是尝试描述某个拓扑空间在局部上有好的性质的惯用伎俩。具体到纤维丛的语境，上述描述说明这样一个事实：纤维丛的每一个局部看起来都如同 $B\times F$ 的一部分。需要注意的是，这里的局部是相对于底流形 $B$ 而言的。每一个平凡化开邻域 $U\subset B$ 的原像 $\pi^{-1}(U)$ 都同胚于 $U\times F$，意味着每一个 $U$ 都可以视作上面“生长”了完整的纤维 $F$，而 $\pi$ 能帮助我们在全空间中“找到”对应的底空间元素。因此，对纤维丛的通俗直观的描述为：局部等价 $B\times F$ 的流形。在这里，等价的含义除了拓扑意义上同胚外，还包括了丛投影与自然投影的等价。正如流形的定义，局部同胚于一个平凡的结构，整体却可能具有非平凡的性质，这正是纤维丛理论的核心。接下来，我们会通过几个简单的例子更好地认识到这一点。

例子

我们依旧可以类比流形来思考这个问题：流形是局部同胚于 $\mathbb{R}^n$ 的拓扑空间，因此流形的性质很大程度上可以通过 $\mathbb{R}^n$ 上的运算理解。既然纤维丛是局部同胚于 $B\times F$ 的空间，最自然的例子便是 $B\times F$ 本身。这被我们称作 平凡丛 (trivial bundle)。

平凡丛

给定任意两个拓扑空间 $B$ 与 $F$，我们可以自然构造另一个拓扑空间 $B\times F$，其上具有一个自然的乘积拓扑。取全空间 $E$ 为该拓扑空间 $B\times F$，$\pi$ 为自然投影 $\mathrm{proj}_1$，易验证四元组 $(E,B,\pi,F)$ 满足纤维丛所需的一切性质。很显然，正如我们所预期的，按照定义我们对任意点都可以取 $U=B$ 做局部平凡化。换言之，平凡丛在整个底空间上都是平凡的。为了方便对比，我们来显式构造一个平凡丛：

取底空间 $B=S^1$，纤维 $F=\mathbb{R}$，那么平凡丛的全空间 $S^1\times \mathbb{R}$ 是一个圆柱。为了方便对应上述概念，我们利用光滑纤维丛亦是光滑流形的事实，为全空间引入一个坐标卡 $(\theta, x)$，则 $\pi((\theta,x))=\mathrm{proj}_1((\theta,x))=\theta$。可以直观地想象，在一个圆上竖直地生长一圈直线 $\mathbb{R}$，正是我们得到的纤维丛的图景，而 $\pi$ 的作用无非是为在圆柱上的点找到他们在圆上对应的位置。这个过于简单的例子可能会导致读者误以为纤维丛都具有这样简单的结构。幸而我们可以构造一个非常接近与圆柱的非平凡纤维丛，对这一观点进行有力的反驳。

莫比乌斯丛

考虑莫比乌斯带 $E:=[0,1]\times\mathbb{R}/\sim$，其中等价关系 $\sim$ 为 $(0,t)\sim(1,-t)$。用纸带旋转半圈粘接而获得过莫比乌斯环的读者一定能想象莫比乌斯环与圆柱 $S^1\times \mathbb{R}$ 几乎都能理解为在圆上生长一圈直线，只是这一次直线随着圆而旋转了 $\pi$。事实上，由于该构造由 $\mathrm{proj}_1$ 诱导的商拓扑，也就是 $[0,1]/(0\sim 1)$，正是 $S^1$，因此纤维丛的构造与前述平凡丛的例子大抵相同，可自然得到底空间为 $S^1$，纤维为 $\mathbb{R}$ 的纤维丛，而丛投射 $\pi$ 依旧取为自然投影。此处唯一变化的便是全空间 $E$ 的拓扑：莫比乌斯带与圆柱是不同胚的。因此莫比乌斯带正构成了一个整体非平凡的纤维丛的例子。

让我们借这个例子理解纤维丛局部是平凡丛的事实：从莫比乌斯带沿着垂直于圆的方向切下一条，很显然这部分同胚于 $(0,1)\times \mathbb{R}$，其与平凡丛以类似方式切下切下的一条是同胚的，同时能以相容的方式投影至 $(0,1)$。

纤维丛给了我们一种统一的描述在底空间“生长”了纤维的拓扑空间的方式。然而目前我们的考量仅能限于拓扑结构上，纤维丛真正的强大之处在于我们可以进一步赋予纤维更多结构。

向量丛

在物理中，我们接触的大多纤维丛相关对象实质上是一个主丛 (principal bundle)，其定义主要依赖于给定的拓扑群 $G$。篇幅原因，我们不在此整体介绍主丛，而是这篇文章的主角，也是在各个领域最常见的主丛之一：向量丛 (vector bundle)。我们来定义它：

向量丛

给定两个拓扑空间 $E$、$B$，$\pi:E\to B$ 是一个连续满射，满足如下性质：

1. 对于任意点 $x\in B$，$\pi^{-1}(\{x\})$ 是一个向量空间
2. 对于任意点 $x\in B$，存在一个开邻域 $U\subset B$，使得其上存在一个同胚 $\varphi:\pi^{-1}(U)\to U\times \mathbb{K}^k$，其中 $\mathbb{K}$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$，使得
   1. $\mathrm{proj}_1\circ\varphi=\pi$
   2. $v\mapsto\varphi^{-1}(x,v)$ 是 $\pi^{-1}(\{x\})$ 与 $\mathbb{K}^k$ 之间的线性同构

第二点给出的过程被称为局部平凡化。可证明在连通的 $B$ 中，$k$ 是与点无关的常数。

显然该定义大体上与前述纤维丛的定义相同，额外多出的部分仅在阐述如下事实：向量丛的纤维具有线性空间 $\mathbb{K}^k$ 的结构。因此，我们可以说向量丛局部等价于 $B\times \mathbb{K}^k$。我们称纤维维数为 $k$ 的向量丛为 $k$ 阶向量丛。

切丛

事实上，在纤维丛章节提到的平凡丛以及莫比乌斯丛都能当作 $1$ 阶向量丛处理，在此留作读者思考。在本小节，我们研究一个更加非平凡而常见的例子：切丛 (tangent bundle)。

考虑任意一个 $n$ 维光滑流形 $\mathcal{M}$，我们知道对于任意点 $p\in\mathcal{M}$，存在一个 $n$ 维向量空间 $T_p\mathcal{M}$，即 $p$ 点的切空间。因此，一个很自然的问题便产生了：我们能否将 $\mathcal{M}$ 与 $T_p\mathcal{M}$ 作为一个整体的流形研究呢？具体而言，$T_p\mathcal{M}$ 似乎可以很自然地作为底流形 $\mathcal{M}$ 上的纤维处理，而由于 $T_p\mathcal{M}$ 是线性空间，这应该可以是一个向量丛。事实也正是如此，我们称这个向量丛为 $\mathcal{M}$ 的切丛 $T\mathcal{M}$。形式上：

$$T\mathcal{M}=\bigcup_{x\in\mathcal{M}}\{x\}\times T_x\mathcal{M}$$

尽管 $T\mathcal{M}$ 作为一个点集是好理解的，我们需要赋予它一个拓扑结构。我们将借由 $\mathcal{M}$ 作为流形的性质完成这一过程。

$\mathcal{M}$ 作为光滑流形，其上具有图册 $(U_\alpha,\phi_\alpha:U_\alpha\to\mathbb{R}^n)$。我们记 $p\in U_\alpha$ 上的坐标卡 $\phi_\alpha$ 诱导的 $T_p\mathcal{M}$ 的基为 $\partial_i$，则该坐标卡亦诱导了 $T_p\mathcal{M}$ 的线性同构 $T_p\mathcal{M}\to \mathbb{R}^n$，即向量分量 $v^i$。因此我们得以构造一个满足局部平凡化性质的同胚 $\tilde{\phi}_\alpha:\pi^{-1}(U_\alpha)\to\mathbb{R}^{2n}$

$$\tilde{\phi}_\alpha(x,v^i\partial_i)=(\phi_\alpha(x),v_i)$$

其中 $\pi$ 是构造点集 $T\mathcal{M}$ 时笛卡尔积的自然投影。令 $A$ 为 $T\mathcal{M}$ 的子集，我们令 $A$ 是 $T\mathcal{M}$ 的开集当且仅当 $\tilde{\phi}_\alpha(A\cap U_\alpha)$ 对所有 $\alpha$ 都是 $\mathbb{R}^{2n}$ 中的开集。借此，我们构造了 $T\mathcal{M}$ 上的拓扑，也就是构造了全空间，而上述过程顺带构造了向量丛定义所需的同胚和丛投射。尽管这个同胚为逐个开集构造，流形坐标卡相容的性质保证了该构造是整体良定的。

从宽泛的视角来说，上述构造过程将 $\mathbb{R}^n$ 上切丛的拓扑借由流形的图册搬运到了流形整体的切丛上，算是流形定义的一个小小拓宽。

以类似的手段，可以构造流形的余切丛 $T^*\mathcal{M}$，我们不多赘述。

截面

在引入联络之前，我们还必须介绍一个简单而重要的概念：截面。熟悉微分几何的读者都清楚，联络，或者协变导数，是向量场到向量场的映射。我们现在在以丛的方式理解流形上各点和其对应的向量空间，那么对应于向量场的概念是什么呢？截面这个名称已经暴露了核心想法：既然现在所有可能的向量值都“生长”在底流形上，那我从上面切下一片，就对应于为每一个底流形的点取一个值。同时，由于我们具有全空间的拓扑，所以我们知道只要这个截面是光滑的，我们理解的场就是光滑的。这里也逐渐体现出纤维丛语言的优势：场本身也可以当作几何对象处理。让我们用更正式的语言描述这个想法：

截面

连续映射 $\sigma:B\to E$ 称为纤维丛 $(E,B,\pi,F)$ 的截面，当且仅当 $\pi\circ\sigma=\mathrm{id}$

这个定义保证了截面 $\sigma$ 只会把底空间的点映射到对应的纤维上。在我们考虑的光滑纤维的情况下，我们进一步要求截面也是光滑的。

我们把（光滑）截面的集合记作 $\Gamma(E)$。光滑向量丛的光滑截面 $\Gamma(E)$ 构成一个 $C^\infty(\mathcal{M})$-模

截面模

1. 数乘：对任意 $f\in C^\infty(\mathcal{M})$，$X\in\Gamma(E)$，$\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}((fX)(x))=f(x)\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}(X(x))$
2. 加法：对任意 $X,Y\in\Gamma(E)$，$\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}((X+Y)(x))=\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}(X(x))+\mathrm{proj}_2\circ\varphi^{-1}(Y(x))$

即逐点对对应纤维做数乘与加法。

仿射联络

终于，我们可以介绍联络的概念了。尽管更一般的联络和曲率定义在主丛之上，我们这里仅考虑向量丛上的一种特殊情况，即仿射联络。尽管仿射联络的概念以切丛为原型定义，接下来我们考虑任意向量丛 $(E,B,\pi)$。

仿射联络

仿射联络是光滑映射 $\nabla:\Gamma(E)\to\Gamma(T^*B)\otimes\Gamma(E)\cong\Gamma(T^*B\otimes E)$，满足对任意 $f,g\in C^\infty(B)$ 和截面 $X,Y\in\Gamma(E)$

$$\nabla(fX+gY)=df\otimes X+f\nabla X+dg\otimes Y+g\nabla Y$$

即 $\nabla$ 满足$\Gamma(E)$可加性和莱布尼兹律。

标架

为了方便我们运算，我们给向量丛引入一组有序基 $(e_i)$，则截面 $X\in\Gamma(E)$ 可表示为

$$X(x)=(x,X^ie_i)$$

这样一组（位置相关的）有序基被称为向量丛的一个 标架 (frame)⁵。我们研究引入标架后仿射联络的表达式

$$\nabla((x,X^ie_i))=(x,\partial_\alpha X^idx^\alpha\otimes e_i)+X^i\nabla(e_i)=(x,\partial_\alpha X^idx^\alpha\otimes e_i+X^i\omega^j{}_{i\alpha}dx^\alpha\otimes e_j)$$

我们同时引入了 $B$ 的坐标卡 $(x^\alpha)$。若将结果统一表示在基 $dx^\alpha\otimes e_i$ 下，则有（省略位置）

$$\nabla X=(\partial_\alpha X^i+X^j\omega^i{}_{j\alpha})dx^\alpha\otimes e_i$$

其中

$$\nabla(e_i)=\omega^j{}_{i\alpha}dx^\alpha\otimes e_j$$

被称为 克里斯托弗符号 (Christoffel symbol)。

特别的，$A^j{}_i=\omega^j{}_{i\alpha}dx^\alpha$ （或 $\omega^j{}_{i\alpha}$ 本身）被称为 联络 1-形式 (connection 1-form)。

不难注意到 $\nabla X$ 对标架分量 $X^i$ 的作用是外微分 $d(X^i)$ 和对 $A$ 的矩阵乘法 $A^j{}_i X^i$ 的求和。因此，我们可以以一种更简洁的符号书写：

$$\nabla X=(d+A)X\quad\nabla=d+A$$

因此，$A$ 被认为是矩阵值 $1$-形式。

坐标变换

如果我们改用其他标架，那么这两套标架之间（逐点）被一个可逆线性变换 $g\in GL(k)$ 联系。在基变换 $\tilde{e}_i=g^j{}_ie_j$ 下，一般的矩阵值形式的变换规则是

$$A\mapsto g^{-1}Ag$$

然而考虑联络 $1$-形式的变换规则

$$\nabla(\tilde{e}_i)=\nabla(g^j{}_ie_j)=\partial_\alpha g^j{}_i (g^{-1})^k{}_j dx^\alpha\otimes\tilde{e}_k+g^j{}_i\omega^k{}_{j\alpha}(g^{-1})^m{}_k dx^\alpha\otimes\tilde{e}_m$$

换言之

$$A\mapsto g^{-1}dg+g^{-1}Ag$$

这也被认为是联络的关键特征之一。

在引入标架上的表达式后，我们可以意识到仿射联络有类似外微分的作用：$\nabla$ 将向量值 $0$-形式 $X\in\Gamma(E)$ 映射到向量值 $1$-形式

$$\nabla:\Gamma(E)\to\Gamma(T^*B)\otimes\Gamma(E)\cong\Omega^1(B)\otimes\Gamma(E)$$

受此启发，我们可以仿照外微分将仿射联络推广至作用到向量值外代数上

外协变微分 $\nabla:\Gamma(\Lambda^*T^*B\otimes E)\to\Gamma(\Lambda^*T^*B\otimes E)$

$$\nabla(X\wedge Y)=\nabla X\wedge Y+(-1)^{\mathrm{deg} X}X\wedge dY$$

特别的，$\nabla$ 将 $\Gamma(\Omega^p(B)\otimes E)$ 映射到向量值 $\Gamma(\Omega^{p+1}(B)\otimes E)$，可以证明其在标架下具有形式 $\nabla=d+A\wedge$。

平行与平行移动

截面 $X\in\Gamma(E)$ 被称为平行截面，当且仅当 $\nabla X=0$

推前与拉回

考虑流形间的光滑映射 $\varphi:\mathcal{M}\to\mathcal{N}$，则 $f\in C^\infty(\mathcal{N})$ 上自然存在一个 拉回 (pullback)

$$\varphi^*f=f\circ\varphi\in C^\infty(\mathcal{M})$$

拉回的名称来源于它将 $\mathcal{N}$ 上的对象映射到了 $\mathcal{M}$ 的对象，与 $\varphi$ 映射的方向相反。

类似地，我们可以定义向量场的 推前 (pushforward)

$$(\varphi_* X)(f)=X(\varphi^* f)$$

其中 $X$ 为 $\mathcal{M}$ 上向量场，$f$ 为 $\mathcal{N}$ 上的光滑函数。很显然，切丛及切丛构造的对象天生只能推前，而余切丛及余切丛构造的对象天生只能拉回。然而，若 $\varphi$ 是一个微分同胚，由于存在反向的光滑映射 $\varphi^{-1}:\mathcal{N}\to\mathcal{M}$，我们可以将 $\mathcal{N}$ 上的向量场也推前到 $\mathcal{M}$ 上，反之亦然。

拉回丛与拉回联络

$\mathcal{N}$ 上的纤维丛 $E$ 天然可以拉回到 $\mathcal{M}$ 上的纤维丛，即认为 $x\in\mathcal{M}$ 点上的纤维为 $\varphi(x)$ 点上的纤维，记作 $\varphi^*E$。

同理，截面 $\sigma\in\Gamma(E)$ 也自然存在一个拉回 $\varphi^*\sigma=\sigma\circ\varphi\in\Gamma(\varphi^*E)$。

进一步，$E$ 上的联络 $\nabla$ 上也自然存在一个到 $\varphi^*E$ 上联络的拉回

$$\varphi^*\nabla(\varphi^*\sigma)=\varphi^*(\nabla\sigma)$$

当然，等式右边涉及的对张量积的拉回就是逐项拉回后的张量积。

$B$ 上的参数曲线 $\gamma:[a,b]\to B$，截面 $X\in\Gamma(E)$ 被称为沿 $\gamma$ 平移当且仅当 $\gamma^*\nabla(\gamma^*X)=0$：$\gamma^*X$ 在拉回丛上是平行截面。

备注

很显然，平行截面沿任意路径都是平行移动

换句话说，联络告诉我们向量丛的截面与平行截面差了多少。若仅有向量丛的定义，我们仅能由拓扑断言哪些纤维上的元素是邻近的，而无法典范地比较各点纤维上的元素，联络提供了一种方式。回到向量场的语言，平行截面就是互相平行的向量构成的向量场。

一个很自然的想法是，我们能否通过将某点处的向量四处平移得到平行截面？在进行这一构造中我们会受到的唯一阻碍便是平行移动的结果是否依赖于路径的选取。如果平行移动的结果与路径有关，我们就无法确保平行截面的光滑性。这一问题，正如一些熟悉微分几何的读者所料，由该联络的曲率回答。

小练习

按照向量与联络的变换规则，验证虽然平行移动方程 $\nabla X=(d+A)X=0$ 中 $dX$ 与 $AX$ 都不按向量变换，但这个方程总体是按向量变换，即协变的。

曲率

我们来考虑一个环形路径 $\gamma:[0,1]\to B$，即 $\gamma(0)=\gamma(1)$。若平移结果与路径无关，那么沿着环路的平移应该不导致向量的变化。按照平移的定义截面 $X$ 应满足 $\gamma^\prime(t)\llcorner(d+A)X=0$。因此，只要我们在沿着 $\gamma$ 积分，我们就可以认为 $dX=-AX$。换言之：

$$X(\gamma(1))-X(\gamma(0))=\oint_\gamma dX=-\oint_\gamma AX$$

可能读者会想利用斯托克斯定理获得局部表达式 $d(AX)$，可惜正如上面式子表达，$X$ 的路径依赖性使我们没有办法将 $X$ 延拓至曲面内，因此这是行不通的。因此，我们只能考虑构造一个无穷小环路。

由于这是任何一个微分几何教材中都有的计算，我们略过具体计算过程而给出结论：

$$\Delta X=(dA+A\wedge A)\wedge X\cdot \epsilon^2+O(\epsilon^3)$$

备注

由于 $X$ 是 $0$-形式，$A\wedge X=AX$。

因此我们得到了刻画局部和乐的矩阵值 $2$-形式 $\Omega=dA+A\wedge A$，即曲率 2-形式 (curvature 2-form)。曲率 $2$-形式的余切部分刻画无穷小平行四边形的两边。

注意

不可以凭直觉通过对面做积分得到边界上的和乐！该事实由一般来说 $d\Omega\neq0$ 可以注意到。

注意到按照外协变导数的表达式 $\nabla=d+A\wedge$，有

$$\begin{align*} \nabla^2X&=(d+A\wedge)(d+A\wedge)X\\ &=d^2X+d(A\wedge X)+A\wedge dX+A\wedge A\wedge X\\ &=dA\wedge X-A \wedge dX+A\wedge dX+A\wedge A\wedge X\\ &=(dA+A\wedge A)\wedge X \end{align*}$$

因此二阶外协变微分 $\nabla^2$ 本身就是一个 $2$-形式，也正是曲率。当曲率为 $0$ 时，平移的结果与路径无关，此时我们称该联络是平坦的。

备注

可能会有读者好奇为什么相同 $1$-形式的楔积 $A\wedge A\neq0$，这是矩阵值形式的特性，我们举例展示：

$$\begin{pmatrix} dx + dy & dx\\ dy & 0 \end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix} dx + dy & dx\\ dy & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (dx + dy)\wedge(dx+dy)+dx\wedge dy & \cdots \\ \cdots & \cdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} dx\wedge dy & -dx \wedge dy \\ dx\wedge dy & -dx \wedge dy \end{pmatrix}$$

和乐

和乐正是指带联络的主丛的环路平移可能导致非平凡变化的现象。由仿射联络的线性性可以注意到，对于底流形上的固定点 $x$，每一条过 $x$ 的环路 $\gamma$ 都会给出一个线性映射 $P_\gamma\in GL(k)$。这些映射构成一个 $GL(k)$ 的子群，乘法由 $P_{\gamma_2}P_{\gamma_1}=P_{\gamma_2\circ\gamma_1}$ 给出。这个群被称为和乐群 $\mathrm{Hol}_x(\nabla)$，曲率 $2$-形式正是其李代数 $\mathfrak{hol}_x(\nabla)$。

贝里曲率

经过冗长的铺垫，我们终于具有足够的工具理解贝里曲率了。在正式进入概念之前，我们先回忆一下贝里相位的概念：在一个参数空间 $\mathcal{R}$ 上的绝热演化 $C(t)$ 上，绝热定律告诉我们第 $n$ 个本征态 $\left|n\right>$ 仍维持第 $n$ 个本征态。在演化的过程中，抛开动力学相位 $e^{-iE_nt}$，还会额外产生一个路径相关的几何相位

$$\gamma_n[C]=i\int_C\left<n(C(t))\right|\nabla_\mathcal{R}\left|n(C(t))\right>d\mathcal{R}$$

很显然，这个表达式与给出和乐的积分具有惊人的相似性：事实上，它们就是同一个东西。这一表达式在强烈地预示我们贝里相位应当被理解成参数空间 $\mathcal{R}$ 上希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的纤维化得到的向量丛上定义的联络导致的和乐。因此，让我们来系统地处理这个问题。

希尔伯特空间的平凡丛

事实上，前面引言所述内容有一点点误导性。很显然，贝里相位按其定义是独立定义在每一个本征态上的。这一想法非常重要，而我们在这一小节将反其道而行之：我们先考虑平凡丛 $\mathcal{R}\times\mathcal{H}$，并说明其上自然存在一个平凡的联络，而这个联络是具有我们期待的物理含义的，接下来我们再考虑这个联络在子空间上有何作用。

我们先思考为什么我们考虑的丛应当是一个平凡丛，第一个问题是：参数空间上不同点对应的真的是同一个希尔伯特空间吗？这事实上是一个非常好的问题，因为如果我们考虑的参数会剧烈改变量子系统定义的空间，那自然会导致不同的希尔伯特空间。例如如果我们考虑一个半径为 $R$ 上的圆环上的量子系统，若 $R$ 为参数，则 $R\to 0$ 时希尔伯特空间会骤然丛 $L^2(S^1)$ 退化为 $L^2(\{0\})$。然而，在这种不连续的变化发生的情况下，我们不可以期待绝热定律是成立的。因为在这种变化下，哈密顿量的谱多半会发生劈裂或合并，因而我们没有办法良定义地说第 $n$ 个本征态仍然在第 $n$ 个本征态。因此，我们不讨论该情况。则在这个意义下，不同参数处的希尔伯特空间至少是同构的。

第二个问题是：为什么是平凡丛？这依旧源于我们的物理认知：物理允许我们指认不同参数处的态为“相同”的态。作为例子，我们不妨考虑一个$\frac{1}{2}$-自旋系统，其希尔伯特空间为 $\mathbb{C}^2$。考虑这个系统耦合在一个缓变的磁场 $\mathbf{B}$ 上，无论 $\mathbf{B}$ 的值如何，我们都先验地知道什么时候自旋是“上”，什么时候是“下”。我们理解这个系统时已经悄然定义了不同参数处基的等价性。当然，从我们前文的说法来看，这实际上是给出了一个联络，并不能说明它是平凡的。我们于此强调平凡丛是因为大部分作者接触的例子都是平凡丛上自然具有的平凡联络。事实上，我们接下来的论述只要存在一个联络便都是成立的，只是作者实在没有想到有物理图景可以给出非平凡的丛的例子。

无论如何，我们继续默认平凡丛 $\mathcal{R}\times\mathcal{H}$，并讨论如何赋予其一个自然的联络。

平凡联络

给定任意平凡向量丛 $\mathcal{M}\times\mathbb{C}^k$，其上的平凡联络由下式定义

$$\forall{\sigma}\in\Gamma(\mathcal{M}\times\mathbb{C}^k)\quad\nabla(\sigma)=d\sigma$$

注意

这一操作似乎在任意向量丛中都可以实现，但注意：该定义由于涉及对 $\sigma$ 分量的外微分，实质上仅能在一个局部平凡化后的区域上定义。对于一般的向量丛，由于不能在整个纤维丛上一致地平凡化，所以该定义未必是整体良定义的。这一困难对于平凡丛并不存在。

容易验证平凡联络是平坦的，即 $\nabla^2=0$。

上述定义中将纤维 $\mathbb{C}^k$ 替换为任意希尔伯特空间亦不会有太多阻碍。因此，我们成功赋予了平凡丛一个平凡的联络。

真空子丛

在已经有了完整的纤维丛和其上的联络之后，我们来想想定义在每个本征子空间上的贝里联络是怎么回事。很直接的想法是，我们需要把联络的作用限制到每个本征子空间上。尽管在整个希尔伯特空间中联络可能是平的，每个参数点上的本征子空间却可能因为参数的变化而长得横七竖八，贝里联络正是捕获了这一变化。为了规范地定义联络的限制作用，我们来定义子丛的概念：

子丛

向量丛 $E$ 的子丛 (subbundle) $L$ 是 $E$ 的子流形，使得对于每一点纤维 $L_x=E_x\cap L$ 是 $E_x$ 的线性子空间。

是一个很直接的定义。在拓扑场论的语境下，基态的本征子空间构成的子丛也被称作真空子丛 (vacuum subbundle)。

定义联络的限制 $\varphi\circ\nabla|_V:\Gamma(\mathcal{R}\times V)\to\Gamma(T^*\mathcal{R}\otimes\mathcal{R}\times V)$，其中 $\varphi$ 为某种典范的投影。

幸而，由于希尔伯特空间中内积的存在，这一过程是相当直接的：如果本征子空间是一维子空间 $\mathrm{span}\{\left|n\right>\}$，则平凡联络的作用为

$$\nabla\left|n\right>=d\left|n\right>=\partial_\alpha\left|n\right> d\mathcal{R}^\alpha=\nabla_\mathcal{R}\left|n\right>\cdot d\mathcal{R}$$

而该结果在本征子空间 $\mathrm{span}\{\left|n\right>\}$ 上的投影为

$$\left<n\right|\nabla_\mathcal{R}\left|n\right>\cdot d\mathcal{R}$$

很显然，这正是贝里联络的表达式，由于我们考虑的是一阶的子丛，联络 $1$-形式由矩阵值退化为了一个普通的 $1$-形式。对应的曲率表达式为

$$\Omega=d(\left<n\right|\nabla_\mathcal{R}\left|n\right>\cdot d\mathcal{R})=\partial_\alpha\left<n\right|\partial_\beta\left|n\right> d\mathcal{R}^\alpha\wedge d\mathcal{R}^\beta$$

这正是贝里曲率的表达式，其中 $A\wedge A$ 项由于是普通的 $1$-形式的自楔积而为 $0$。

黎曼几何与 Levi-Civita 联络

在本文的最后，我们简单将正文介绍的概念对应至微分几何中的概念。事实上，正文中绝大多数概念的引入与微分几何中概念的引入都是直接对应的。由于切丛 $T\mathcal{M}$ 正是一个典型的向量丛，因此我们可以照搬所有概念。

然而，在切丛的语境下，由于天然存在一个好的标架 $(\partial_\mu)$，以及种种历史原因，很多教材在初学时会忽略切丛上可以任选标架的事实，而直接在 $(\partial_\mu)$ 中定义所有量。例如经典的克氏符（与正文中比置换了下指标）

$$\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}\partial_\rho=\nabla_{\partial_\mu}(\partial_\nu)$$

另外，正文中定义的联络没有下指标，与常见的协变导数关系如下：

$$\nabla_X(Y)=X\llcorner\nabla(Y)$$

$\llcorner$ 指将 $X$ 与 $\Gamma(T^*\mathcal{M})$ 缩并。正文中符号的优势在于紧凑而且由于张量积的缘故无需阐述联络对于下指标 $C^\infty(\mathcal{M})$-线性的事实。

对于有些学习广义相对论和（伪）黎曼几何的读者而言，正文定义的联络可能有些许陌生：在该语境下，联络是唯一且由度规定义的。这是由于度规，即一个对称可逆 $2$-形式 $g\in\Gamma(\mathrm{Sym}^2T^*\mathcal{M})$ 的存在，可以挑选出一个非常特殊的联络，即 Levi-Civita 联络。

Levi-Civita 联络的想法如下：使平行移动保持度规，例如始相互正交的矢量在同时平移后依旧是相互正交的。该要求等价于

$$\nabla g=0$$

在无挠，即 $\Gamma^\rho{}_{\mu\nu}=\Gamma^\rho{}_{\nu\mu}$ 的要求下，得益于（伪）黎曼几何基本定理

（伪）黎曼几何基本定理

存在唯一的仿射联络 $\nabla$ 使得

1. $\nabla g=0$
2. $\nabla$ 无挠

我们可以借由度规唯一确定 Levi-Civita 联络。在本文我们不多赘述。对于（伪）黎曼流形而言，由于选用 Levi-Civita 联络，和乐群会被从 $GL(n)$ 的子群进一步被限制到 $O(p,q)$ 的子群。

信息

Levi-Civita 联络之所以自然是因为当（伪）黎曼流形被以保持度规的方式嵌入高维的 $\mathbb{R}^{p,q}$ 时，若将 $\mathbb{R}^{p,q}$ 上的平凡联络限制到嵌入的流形，则流形上的联络正是 Levi-Civita 联络。这个过程和构造贝里联络的过程是近乎一致的。对于喜欢以嵌入的方式看待曲面的人类来说，Levi-Civita 就是最自然的平行移动了。

Footnotes

1. 作者在学习过程中也逐渐沾染使用黑话的习惯了，大抵这就是知识的诅咒罢 ↩

2. 拓扑空间可以粗略理解为允许定义连续等概念的空间。在本篇考虑的多数情况下，这些拓扑空间都至少局部同胚于 $\mathbb{R}^n$ 或 $\mathbb{C}^n$，因此不熟悉的读者可以以此为基础想象我们定义的对象。然而，需要注意 $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{C}^n$ 是具有极好属性的拓扑空间，不可轻易将其性质推广至一般的拓扑空间中 ↩

3. 同胚可以理解为拓扑意义上完全等价，然而该等价性不能推广至拓扑外的性质（如度量） ↩

4. 自然投影即 $\mathrm{proj}_1((a,b))=a$ ↩

5. 事实上，为了保证标架的选取是光滑的，我们应当引入标架丛的概念 ↩